Методические рекомендации по оформлению решения
экзаменационных задач по геометрии
Анализ экзаменационных письменных работ показал, что качество их выполнения в значительной мере зависит от того, как ученик владеет культурой математических записей, придерживается ли определенных норм графических работ, записи решения задач и упражнений. Предлагаемые рекомендации, касающиеся оформления решений задач по геометрии, способствуют более объективному оцениванию экзаменационных работ в целом.
Решение задач по геометрии, как правило, начинается с выполнения рисунка. Рисунок должен помочь ученику представить те абстрактные геометрические объекты, которые даются в условии задачи, разобраться во взаимном расположении всех линий, углов, плоскостей, о которых идет речь в условии. Основные требования к рисунку:
• Правильность. Существует такой способ проектирования, при котором изображение фигуры подобно полученной проекции. Как правило, на рисунке изображается параллельная проекция заданного тела на плоскость рисунка, а потому обязательным является соблюдение свойств параллельного проектирования. Необходимо учитывать следующие требования к изображению линий: сплошные линии используются для изображения видимого контура, штриховые – невидимого, штрих-пунктирные – для изображения осей симметрии, осей вращения. При изображении комбинации геометрических фигур допускается изображать вписанную фигуру штриховыми линиями (как невидимую) или сплошными вдвое тоньше, чем линии видимого контура, считая вписанную фигуру прозрачной. При построении двух и более рисунков, среди которых есть такие, которые изображают часть данной фигуры, буквенные обозначения должны быть идентичными, а рисунки пронумерованы.
• Наглядность. Образ фигуры создает тоже впечатление, что и ее прообраз, он должен быть достаточно крупным – ¼ часть страницы, удобным для решения задачи.
• Простота построения. При выполнении дополнительных построений желательно не использовать сложные вспомогательные приемы. При решении задач на комбинации тел можно обойтись рисунком осевого сечения. Например, в задачах на следующие комбинации тел: правильная пирамида с вписанным в нее шаром; конус с вписанным в него шаром; усеченный конус с вписанным в него шаром; шар с вписанным в него конусом; цилиндр с вписанным в него шаром; цилиндр с описанным около него шаром. При решении задач на комбинации многогранника и тела вращения также нет необходимости всегда выполнять полный рисунок данной комбинации, достаточно изобразить многогранник, сделать краткие пояснения к выполненному рисунку, с обязательным описанием положения центра шара и указанием его радиуса; или положения центра основания конуса, его высоты и радиуса; или положение центров основания цилиндра, его высоты и радиуса.
• Полнота. На рисунке должны быть размещены все элементы геометрической фигуры или ее части: линии, отрезки, углы и т.д., которые используются при решении задачи.
Полное условие задачи не переписывается, поэтому запись начинается с записи «Дано», «Найти». Затем решение.
В объяснениях в первую очередь внимание обращается на логическое обоснование основных соотношений между элементами фигуры, на которых основано решение (ортогональность, параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей, их свойства и т.д.).
Особого внимания требуют объяснения, касающиеся непосредственно геометрической фигуры, о которой идет речь в условии задачи и взаимного расположения ее элементов (сечений сторон, ребер, граней, вершин, углов и т.д.). В процессе пояснения рисунка и решения задачи объяснения требуют:
• элементы, определяющие заданные фигуры (форма и расположение сечений, положение высот, медиан, биссектрис и т.д.);
• расстояние между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, гранями;
• углы между прямой и плоскостью, линейные углы двугранных углов;
• дополнительные построения, если они выполнялись;
• положение и элементы фигуры вращения;
• взаимное положение элементов фигур, входящих в комбинации фигур и не вытекающих из соответствующих определений.
Но не следует требовать от учащихся излишне развёрнутых обоснований. Степень детализации выкладок и теоретических обоснований определяется в каждом случае характером задания, способностями ученика, уровнем подготовки.
Объяснять необходимо те геометрические свойства, которые будут использоваться при решении задачи.
Исключение составляют лишь те свойства, что являются составными элементами или вытекают из определения заданной геометрической фигуры. Приведем примеры свойств фигур, которые не требуют обоснования:
• Для правильной пирамиды: все боковые грани пирамиды – равные треугольники; боковые ребра равны и образуют с плоскостью основания равные углы; плоские углы при вершине пирамиды равны; двугранные углы при сторонах основания равны; равны и двугранные углы при боковых ребрах; основание пирамиды – правильный многоугольник, центр которого есть ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость ее основания; высота, вписанного в нее конуса совпадает с высотой пирамиды, образующие с высотами боковых граней, а окружность основания является окружностью, вписанной в основание пирамиды; высота, описанного около нее конуса совпадает с высотой пирамиды, боковые ребра пирамиды совпадают с образующими конуса, а окружность основания конуса является окружность, описанной около основания пирамиды.
• Для призмы: боковые грани – параллелограммы; боковые ребра – параллельные и равные отрезки; основания – равные многоугольники, лежащие на параллельных плоскостях; соответствующие стороны и углы параллелограмма равны.
• Для конуса: образующие равна и образуют с плоскостью основания равные углы; вершина проектируется в центр круга основания.
• Для цилиндра: его основания – равные между собой круги, лежащие в параллельных плоскостях; образующие равны и параллельны между собой; образующие перпендикулярны плоскости основания.
Перечисление таких свойств можно продолжить. Записывая решение задачи, следует объяснить и обосновать существенное, не увлекаться чрезмерной детализацией. Однако нельзя ограничиваться в объяснениях только записью формул и вычислениями без промежуточных выкладок.
Трудно дать исчерпывающие рекомендации к каждой геометрической задачи, какие положения в процессе решения задачи следует детально обосновывать, какие можно взять как общеизвестные, а о каких достаточно лишь вспомнить. Суть состоит в том, чтобы ученики поняли необходимые и достаточные условия, обеспечивающие существование данного соотношения или свойства, на основании которых установлена зависимость между элементами фигур.
Например, чтобы установить равенство треугольников, достаточно указать равенство соответствующих угловых и линейных элементов, гарантирующих отношение равенства без обязательной формулировки и названия самого признака. Так, при применении теоремы Пифагора и её следствий достаточно установить, что данный треугольник прямоугольный, и указать прямой угол. Без ссылок на соответствующие теоремы или следствия применяются в процессе решения задач свойства и соотношения между сторонами, углами и диагоналями параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба), предварительно установив, если это неизвестно из условия задачи, вид четырехугольника.
Аналогично необходимо подходить и к ссылкам на математические утверждения из стереометрии, в частности при построении проекций отрезка, прямой на плоскость, при использовании свойств параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей, теоремы о трех перпендикулярах и т.д.
При решении задач часто возникает ряд вопросов касающихся ответа, т.е. конечного результата. Остановимся на них.
Во-первых, исследование полученной в процессе решения формулы не является обязательным. Выполняется оно лишь тогда, когда такое требование предусмотрено условием задачи или возникает необходимость во время отдельных преобразований выражений, например, необходимо опустить знаки абсолютной величины выражений, под знаком квадратного корня стоит выражение со знаком минус и т.д.
Во-вторых. Полезно прививать ученикам умения и потребность по полученной общей формуле оценивать достоверность ответа, чтобы застраховать себя от возможных ошибок логического и механического характера.
В-третьих. Когда задача решена в общем виде, следует в формулу решения подставить значения параметров, если они даны и найти числовое значение искомой величины.
В-четвертых. В ответе записывается общая формула, а также ее числовое значение, например, Ответ: 13,5 см <sup>2</sup>.
Как видим в записи общей формулы, полученной в процессе решения задачи отсутствуют наименование типа «кв.ед.», «куб.ед.». Единицы наименований указываются лишь для конкретного случая, когда даны размерности параметра линейных элементов рассматриваемой фигуры.
